7 EXPRESIÓN TEÓRICA DEL FLUJO

 

Nos proponemos a continuación obtener una expresión teórica de la densidad de flujo de radiación, o simplemente el flujo, en cualquier punto de una atmósfera estelar semi-infinita. Si admitimos que la estrella tiene simetría esférica, I_n no depende del ángulo acimutal f. En consecuencia, la expresión (6.16) permite escribir el flujo monocromático en la profundidad óptica t_n  de la atmósfera de la siguiente manera :

 

 

                                   (7.32)

 

 

Si se elige un elemento de área en la atmósfera normal al radio de la estrella y la dirección radial corresponde a q = 0⁰, entonces los dos términos del segundo miembro  en (7.32) representan los flujos emergente e incidente, respectivamente. Reemplazando las intensidades emergente e incidente por sus respectivas expresiones (7.25) y (7.26), resulta :

 

 

    

 

 

Si suponemos además que la función fuente S_n no depende del ángulo q (condición de isotropía), se obtiene la siguiente expresión teórica del flujo :

 

 

 

 

 

Esta expresión puede simplificarse usando integrales exponenciales y efectuando cambios de variables apropiados. En efecto, si en el primer término se hace la sustitución : w = secq ,  x =  (t_v - t_v), se obtiene en forma inmediata que senq dq = dw/w². La primera integral con variable angular resulta entonces :

 

 

                                                         (7.33)

 

 

Análogamente, haciendo las sustituciones w’ = - secq,  y = (t_v – t_v), se obtiene que senqdq = - dw’/w’² y la segunda integral angular de la expresión teórica del flujo resulta  :

 

 

                                                            (7.34)

 

 

Conviene aclarar en este último caso que cuando la variable q  tiende a p/2, la nueva variable w’ tiende a +¥. Esto es así debido a que cuando q  tiende a p/2 lo hace viniendo desde q = p y, por ende, el cosq  tiende a cero por valores negativos. En consecuencia, w’= 1/cosq  tiende a +¥.

 

Teniendo en cuenta (7-33) y (7-34) la expresión teórica del flujo queda :

 

                 (7.35)

 

la cual se conoce como integral del flujo o ecuación integral de Milne.

 

La expresión obtenida es de gran importancia ya que contrariamente a la intensidad específica, el flujo constituye un parámetro que puede ser observado en todos los objetos astronómicos. En realidad, las observaciones permiten conocer el flujo en la superficie estelar. Por lo tanto, el flujo teórico a comparar con las observaciones será el dado por (7-35) pero para t_v = 0, esto es :

 

 

                                                                          (7.36)

 

 

El flujo superficial teórico está pues compuesto de la suma sobre todas las profundidades ópticas contribuyentes, de la función fuente en cada punto, atenuada por el correspondiente factor de extinción. Debe tenerse en cuenta que el flujo superficial expresado en (7-36), representa la energía por unidad de tiempo e intervalo de frecuencia que teóricamente atraviesa un elemento de área ubicado sobre la superficie de la estrella. El flujo monocromático total emitido teóricamente por la estrella resulta de multiplicar (7-36) por la superficie total de la estrella. Si no existe absorción de la radiación entre la estrella y la tierra, llamando f_v a la cantidad de energía por unidad de tiempo (flujo) que se recibe en la tierra (fuera de la atmósfera), por unidad de área e intervalo de frecuencia, por conservación de la energía se tendrá :

 

 

                                             4pR²F_v(0) = 4pr²f_v ,                                               (7.37)

 

 

en la cual r es la distancia tierra-estrella y R el radio de la estrella supuesta esférica. En la práctica, cuando se conocen R y r, suelen compararse las cantidades medidas f_v para diferentes rangos de frecuencia, con los correspondientes valores teóricos (R/r)²F_v(0) calculados de (7-37), usando una determinada función fuente.